{"id":13359,"date":"2022-12-05T15:07:43","date_gmt":"2022-12-05T15:07:43","guid":{"rendered":"https:\/\/www.icog.es\/TyT\/?p=13359"},"modified":"2022-12-21T10:13:59","modified_gmt":"2022-12-21T10:13:59","slug":"karst-y-fractales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.icog.es\/TyT\/index.php\/2022\/12\/karst-y-fractales\/","title":{"rendered":"Karst y fractales"},"content":{"rendered":"\n

TIERRA Y TECNOLOG\u00cdA N\u00ba 60 | DOI:  <\/strong><\/strong>https:\/\/dx.doi.org\/10.21028\/eog.2022.12.05<\/a> | Autor: Eulogio Pardo Ig\u00fazquiza<\/strong>. Investigador Cient\u00edfico. Instituto Geol\u00f3gico y Minero de Espa\u00f1a (IGME, CSIC)<\/p>\n\n\n\n

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Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Recordemos que el karst es un terreno geol\u00f3gico muy sui generis<\/em> que presenta un paisaje caracter\u00edstico tanto en superficie como en el subsuelo. El karst se desarrolla principalmente en rocas carbon\u00e1ticas, las cuales, a pesar de ser rocas duras o competentes, son relativamente solubles al agua de lluvia, la cual penetra por fracturas y otras discontinuidades de la roca, disolviendo y ensanchando dichas fracturas. Como consecuencia, en superficie el paisaje k\u00e1rstico presenta depresiones cerradas que se denominan dolinas, mientras que en el subsuelo se forman redes de cuevas (el karst subterr\u00e1neo). Desde el punto de vista hidrogeol\u00f3gico, las dolinas act\u00faan como colectores de agua de lluvia (recarga preferente) y la transmiten al subsuelo donde circular\u00e1 por una red de tuber\u00edas naturales, formada por conductos k\u00e1rsticos y fracturas, hasta volver a la superficie a trav\u00e9s de los espectaculares manantiales k\u00e1rsticos.<\/p>\n\n\n\n

Por otra parte, tenemos los fractales. En palabras del padre de los fractales, el matem\u00e1tico franc\u00e9s de origen polaco, Beno\u00eet Mandelbrot: \u201clas nubes no son esferas, las monta\u00f1as no son conos, la l\u00ednea de costa no est\u00e1 formada por c\u00edrculos, la corteza de un \u00e1rbol es rugosa y los rayos no viajan en l\u00ednea recta\u201d. Es decir, la naturaleza tiende a ser rugosa y no est\u00e1 bien representada mediante las figuras suaves de la geometr\u00eda cl\u00e1sica (geometr\u00eda diferencial). Los fractales son objetos irregulares (esto es, rugosos) donde el mismo patr\u00f3n se repite a diferentes escalas. Arquetipos de fractales son la l\u00ednea de costa o un \u00e1rbol. En el caso de una l\u00ednea de costa, conforme vamos observado partes m\u00e1s peque\u00f1as de la misma, aparecen nuevos detalles de entrantes y salientes, de modo que seguimos viendo la gran irregularidad que presenta. En el caso de un \u00e1rbol, conforme vamos tomando zonas cada vez m\u00e1s peque\u00f1as, seguimos viendo un \u00e1rbol a escala (Fig. 1). Es decir, en los objetos fractales una parte se parece al todo. El nombre t\u00e9cnico de esta caracter\u00edstica es el de autosimilitud o autosemejanza. Por otra parte, esta autosimilitud induce una segunda propiedad denominada invarianza de escala. La invarianza de escala implica que el objeto fractal no tiene un tama\u00f1o caracter\u00edstico y cuando se muestra una foto del mismo, se ha de poner alg\u00fan objeto de tama\u00f1o conocido (una escala) si queremos saber el tama\u00f1o del mismo a partir de la foto. Esto nos es muy familiar a los ge\u00f3logos, siendo quiz\u00e1s lo primero que aprende un ge\u00f3logo en el campo. De este modo, cuando se efect\u00faa una foto de una estructura geol\u00f3gica en el campo hay que poner un objeto de tama\u00f1o conocido (una moneda, un bol\u00edgrafo, el martillo, una persona, \u2026) para poder tener una idea del tama\u00f1o de la estructura fotografiada. En caso contrario no sabremos si la estructura representada en la foto (por ejemplo, un pliegue) tiene el tama\u00f1o de unos mil\u00edmetros, cent\u00edmetros, metros o centenares de metros. Los fractales tienen las dos caracter\u00edsticas: son autosemejantes y tienen invarianza de escala. Sin embargo, no todas las estructuras geol\u00f3gicas son fractales, aunque una gran mayor\u00eda de ellas tienen invarianza de escala. <\/p>\n\n\n\n

Por otra parte, est\u00e1n los fractales matem\u00e1ticos que se pueden utilizar como modelos de determinadas estructuras geol\u00f3gicas. Los fractales matem\u00e1ticos se construyen por iteraci\u00f3n de un proceso muy simple dando lugar a una autosemejanza exacta, de modo que una parte se parece exactamente al todo. Sin embardo, en los fractales naturales la autosemejanza es estad\u00edstica, de modo que una rama \u201cse parece\u201d al \u00e1rbol completo, aunque no sea exactamente igual (Fig. 1).<\/p>\n\n\n

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Figura 1. Un \u00e1rbol como arquetipo de fractal, donde el mismo patr\u00f3n (ramificado) se repite a diferentes escalas. Una parte se parece al todo (autosemejanza) y la invarianza de escala se observa en el hecho de que no podr\u00edamos decir el tama\u00f1o de la rama dentro del recuadro azul si nos la presentasen en una foto ella sola.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Adicionalmente, asociado al concepto de fractal est\u00e1 el concepto de dimensi\u00f3n fractal. Nos son familiares las dimensiones eucl\u00eddeas que toman un valor entero, como las 3 dimensiones del espacio, las 2 dimensiones de un plano o la dimensi\u00f3n 1 de una l\u00ednea recta. Sin embargo, estas dimensiones no son adecuadas para la descripci\u00f3n de un objeto irregular de la naturaleza y por ello se introduce el concepto de dimensi\u00f3n fractal o fraccionaria. La dimensi\u00f3n fractal (Figura 2) es un n\u00famero que sirve para cuantificar la rugosidad (o irregularidad o complejidad) de un objeto; incluidos objetos naturales como pueden ser un \u00e1rbol, una nube o una cueva. <\/p>\n\n\n

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Figura 2. La l\u00ednea recta en la figura A tiene una dimensi\u00f3n de 1, al igual que el plano en la figura D tiene una dimensi\u00f3n de 2. En B y C, conforme la l\u00ednea se hace m\u00e1s irregular, m\u00e1s rugosa, tiende a llenar el plano marcado por l\u00edneas discontinuas, teniendo una dimensi\u00f3n fractal que est\u00e1 comprendida entre 1 y 2. La dimensi\u00f3n fractal crece conforme la rugosidad aumenta al pasar de la figura B a la figura C.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Como se ha dicho, un fractal matem\u00e1tico se genera por una aplicaci\u00f3n repetida de un proceso muy simple. La figura 3 representa un fractal matem\u00e1tico tridimensional que se conoce como esponja o cubo de Menger. Con posterioridad veremos su relaci\u00f3n con el karst pero resulta ilustrativo construir nosotros mismos un fractal matem\u00e1tico bidimensional como la alfombra de Sierpinski que tambi\u00e9n se muestra en la figura 3. En efecto, cada cara del cubo de Menger en la figura 3 es una alfombra de Sierpinski. Su generaci\u00f3n es extremadamente simple y la hemos ilustrado en la figura 4. La alfombra de Sierpinski se genera mediante la aplicaci\u00f3n a un cuadrado (A en figura 4) de la siguiente operaci\u00f3n b\u00e1sica: en un primer paso se divide el cuadrado en 9 cuadrados m\u00e1s peque\u00f1os mediante dos rectas paralelas y equidistantes tanto en la vertical como en la horizontal (B en figura 4) y en un segundo paso se vac\u00eda el cuadrado central (C en figura 4). En nuestro dibujo no es necesario vaciar el cuadrado central y basta con ponerlo en otro color, como por ejemplo en negro. De este modo tenemos la alfombra de Sierpinski despu\u00e9s de la primera iteraci\u00f3n (D en figura 4). A continuaci\u00f3n, se vuelve a aplicar la misma operaci\u00f3n b\u00e1sica (pasos 1 y 2) a cada uno de los 8 cuadrados que no se vaciaron en la primera iteraci\u00f3n (E y F en figura 4). De este modo se obtiene la alfombra de Sierpinski despu\u00e9s de la segunda iteraci\u00f3n (G en figura 4). El proceso se vuelve a repetir con cada uno de los 64 cuadrados que no se vaciaron en la segunda iteraci\u00f3n (H e I en figura 4) obteni\u00e9ndose la alfombra de Sierpinski despu\u00e9s de la tercera iteraci\u00f3n (J en figura 4). El procedimiento sigue para infinitas iteraciones, aunque para un ejemplo pr\u00e1ctico hay que detenerse en una iteraci\u00f3n dada.<\/p>\n\n\n

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Figura 3. Cubo o esponja de Menger. Cada cara del cubo es una alfombra de Sierpinski. En el texto principal se ilustra su relaci\u00f3n con el karst. Figura de Wikipedia creada y distribuida por Niabot bajo licencia GNU Free Documentation.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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Figura 4. Proceso de construcci\u00f3n de una alfombra de Sierpinski despu\u00e9s de una (figura D), dos (figura G) y tres (figura J) iteraciones. El proceso b\u00e1sico se muestra en A, B y C donde un cuadrado se divide en 9 cuadrados iguales y se vac\u00eda el cuadrado central. El proceso se repite indefinidamente repitiendo el proceso con los cuadrados generados en cada iteraci\u00f3n. El procedimiento se explica en el texto principal.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

El karst es fractal, tanto el karst en superficie como en el karst subterr\u00e1neo<\/h2>\n\n\n\n

El karst es fractal y podemos relacionarlo con la alfombra de Sierpinski. Para ello, si los vac\u00edos de la alfombra de Sierpinski (en color negro en A en figura 5) se desordenan, localiz\u00e1ndolos al azar (B en figura 5), y su forma se transforma a irregular, aunque se puede conservar el \u00e1rea (C en figura 5) el resultado final es comparable con la porosidad por disoluci\u00f3n de una muestra de caliza del Mioceno Superior de Mallorca (D y E en la figura 5).  <\/p>\n\n\n

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Figura 5. En la naturaleza los vac\u00edos de la alfombra de Sierpinski (A) aparecer\u00e1n con una ordenaci\u00f3n aleatoria (B) y la geometr\u00eda de los vac\u00edos tender\u00e1 a ser irregular (C) m\u00e1s que cuadrada (aunque se conservase el \u00e1rea). Esta alfombra de Sierpinski modificada se puede comparar con una laja de una caliza arrecifal del Mioceno Superior (D) y el parecido es mayor si pasamos la foto a blanco y negro (E), donde el negro est\u00e1 asociado con los vac\u00edos en la roca, esto es, la porosidad secundaria por disoluci\u00f3n de la roca. D se puede considerar como un karst a escala. La altura de la tableta de caliza es de 40 cm. <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Por otra parte, Curl (1986) mostr\u00f3 que la distribuci\u00f3n de tama\u00f1os de cuevas (tramos de cuevas limitadas por pasajes menores a un determinado tama\u00f1o) tienen una distribuci\u00f3n fractal y obtiene un valor de 2.7 para la cueva Little Brush Creek en Estados Unidos. Este valor de 2.7 corresponde a la dimensi\u00f3n fractal de una esponja de Menger (Fig. 3). Tambi\u00e9n se ha descubierto que las redes de cuevas son fractales de dimensi\u00f3n 5\/3 = 1.67 (Fig. 6). El tipo de red de la figura 6 es de tipo epig\u00e9nico, esto es, formada por el agua de lluvia que desciende de modo turbulento a lo largo de dicha red hasta alcanzar el nivel piezom\u00e9trico o conductos cada vez m\u00e1s peque\u00f1os en la zona no saturada. La teor\u00eda de la turbulencia de Kolmogorov predice como la energ\u00eda de un proceso turbulento se va transmitiendo en cascada desde los grandes v\u00f3rtices a v\u00f3rtices cada vez m\u00e1s peque\u00f1os hasta que en \u00faltimo t\u00e9rmino la energ\u00eda se disipa en los v\u00f3rtices m\u00e1s peque\u00f1os por fricci\u00f3n. La pendiente del espectro de energ\u00eda de la teor\u00eda de la turbulencia de Kolmogorov, en un gr\u00e1fico doblemente logar\u00edtmico, es de 5\/3. Por ello, como conjetura, es previsible que las redes k\u00e1rsticas laber\u00ednticas hipog\u00e9nicas, relacionadas con un desarrollo el karst de abajo hacia arriba asociado a flujos lentos de origen hidrotermal profundo, tengan una dimensi\u00f3n fractal distinta a 5\/3.<\/p>\n\n\n

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Figura 6. Topograf\u00eda de los 130 km de conductos k\u00e1rsticos de la red subtropical de Shuanghe en China, a partir de datos suministrados por Jean Bottazi (Plong\u00e9e Sp\u00e9l\u00e9o Club Jeunes Ann\u00e9es, PSCJA). La dimensi\u00f3n fractal de esta red es de 5\/3 = 1.67.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Asimismo, el relieve k\u00e1rstico es fractal por la gran rugosidad que presenta (Figura 7). Sin embargo, la dimensi\u00f3n fractal del relieve k\u00e1rstico y la de cualquier otra topograf\u00eda natural o de ingenier\u00eda de los materiales tendr\u00e1 ser\u00e1 menor a 2.3, que es un l\u00edmite te\u00f3rico calculado por Persson (2014) atendiendo a razones de resistencia y estabilidad de los materiales.<\/p>\n\n\n

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Figura 7. La topograf\u00eda k\u00e1rstica en superficie es fractal. El Torcal de Antequera, en la provincia de M\u00e1laga, presenta una gran rugosidad por la red de fracturas a diferentes escalas as\u00ed como por la estratificaci\u00f3n horizontal que delimitan bloques apilados que proporcionan una gran rugosidad al relieve k\u00e1rstico. <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Relaci\u00f3n entre una red de cuevas y la red del metro de Madrid<\/h2>\n\n\n\n

Existe una gran similitud entre el patr\u00f3n de variabilidad espacial de una red k\u00e1rstica y el de la red de metro de una ciudad como Madrid, tal y como se puede verificar en la figura 8. Este es un ejemplo de la llamada universalidad de los fractales, donde procesos f\u00edsicos muy diferentes dan lugar a patrones espaciales parecidos. En efecto, los procesos f\u00edsicos que han originado las redes de cuevas y del metro son tan diferentes que en un caso es obra de la naturaleza (la red de cuevas) y el otro es el resultado de la ingenier\u00eda humana (la red del metro). Sin embargo, ambas redes son parecidas como se observa en la figura 8, de modo que ambas redes presentan autosimilitud e invarianza de escala, esto es, tienen un car\u00e1cter fractal. En la figura 8A se puede ver como una parte de la red (por ejemplo la contenida dentro del cuadrado amarillo) se parece al todo (la red completa) y la invarianza de escala es evidente pues no se ha representado ninguna escala en la figura y, por consiguiente, \u00bfpodr\u00eda el lector decir si la anchura de la figura est\u00e1 representado cientos de metros, o varios kil\u00f3metros o decenas de kil\u00f3metros? Obviamente la respuesta es no.<\/p>\n\n\n\n

La determinaci\u00f3n de la dimensi\u00f3n fractal de la red de cuevas de Sakany por el m\u00e9todo del recuento de cajas (box counting<\/em>) se ilustra en la figura 9 y se explica en la leyenda de dicha figura. El resultado es una dimensi\u00f3n fractal de 1.79. La misma metodolog\u00eda se puede aplicar a la red del metro de Madrid mostrada en la figura 8B y se obtiene una dimensi\u00f3n fractal de 1.47. La mayor dimensi\u00f3n fractal, en este caso, de la red de cuevas implica su mayor irregularidad y complejidad que la red de metro de Madrid, como queda patente de modo intuitivo si se observan y comparan ambas redes en la figura 8.<\/p>\n\n\n

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Figura 8. La proyecci\u00f3n en planta de la red k\u00e1rstica de Sakany (A) en Francia muestra un gran parecido con la red del metro de Madrid (B) aunque con mayor complejidad de la red de cuevas como lo muestra su mayor dimensi\u00f3n fractal. La red de Sakany ha sido proporcionada por Jean-Pierre Cassou (Groupe de Recherches et d\u2019Activit\u00e9s Sp\u00e9l\u00e9o, Lourdes, France) y la red del metro de Madrid por el Consorcio de Transportes de Madrid (Comunidad de Madrid).<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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Figura 9. Determinaci\u00f3n de la dimensi\u00f3n fractal de la red k\u00e1rstica de Sakany mediante el m\u00e9todo del conteo de cajas (box counting). La red k\u00e1rstica se recubre con una malla de cajas cuadras de dimensi\u00f3n progresivamente decreciente (de 1 en la figura A hasta 1\/16 en la figura E). Se contabiliza el n\u00famero de cajas que contienen conductos (independientemente de si contienen muchos o pocos) y se representan frente al tama\u00f1o de la caja en un gr\u00e1fico log-log. La pendiente de la recta ajustada, cambiada de signo, es la dimensi\u00f3n fractal que en la figura para la red de Sakany adopta un valor de 1.79.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

La distribuci\u00f3n del tama\u00f1o de dolinas en el karst (abundancia de dolinas) es fractal<\/h2>\n\n\n\n

La cartograf\u00eda de dolinas se ha efectuado normalmente utilizando mapas topogr\u00e1ficos y sobre todo fotograf\u00edas a\u00e9reas donde la visi\u00f3n estereosc\u00f3pica del relieve permit\u00eda su identificaci\u00f3n como depresiones cerradas y su delineaci\u00f3n. Sin embargo, s\u00f3lo las depresiones de mayor tama\u00f1o pod\u00edan ser identificadas. Por otra parte, la identificaci\u00f3n en campo resulta muy onerosa si el \u00e1rea a investigar es muy grande o hay zonas de dif\u00edcil acceso. Esta situaci\u00f3n ha cambiado con la disponibilidad de los modelos digitales de elevaciones (MDE) que pueden considerarse como los modernos mapas topogr\u00e1ficos. En efecto, el MDE es una matriz o malla de datos de elevaci\u00f3n, donde se puede considerar como una cuadr\u00edcula se ha superpuesto sobre el terreno y la altitud de cada celda ha sido calculada. El Instituto Geogr\u00e1fico Nacional dispone de los MDE de toda Espa\u00f1a, con la partici\u00f3n correspondiente a las hojas topogr\u00e1ficas 1:50000, para descarga gratuita. La resoluci\u00f3n espacial de este MDE es de 5 m, es decir el MDE est\u00e1 constituido por una malla de celdas cuadradas de 5 m de lado y para cada celda se conoce su altitud. Un ejemplo se muestra en la figura 10A que representa el MDE del macizo k\u00e1rstico del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves. Una de las ventajas del formato digital, esto es num\u00e9rico, de los MDE es que est\u00e1n especialmente indicados para su tratamiento matem\u00e1tico. De este modo siguiendo un procedimiento de relleno de depresiones del terreno es posible obtener la cartograf\u00eda de las mismas como se muestra en B y C de la figura 10. Del mismo modo, resulta inmediato el conteo de depresiones y el c\u00e1lculo del \u00e1rea de cada una de ellas. As\u00ed, cuando se representa en un gr\u00e1fico doblemente logar\u00edtmico (figura 10D) el n\u00famero de depresiones que superan una determinada superficie frente al \u00e1rea, se puede verificar si los puntos as\u00ed obtenidos se disponen a lo largo de una l\u00ednea recta lo que implicar\u00eda el car\u00e1cter fractal de la distribuci\u00f3n de tama\u00f1os de dolinas. Asimismo, la pendiente de la recta (cambiada de signo) indica el exponente de la ley potencial que para el caso de la figura 10 toma un valor de 0.87. Diversos autores han demostrado el mismo car\u00e1cter fractal de la distribuci\u00f3n de lagos en \u00e1reas gran\u00edticas con un exponente de valor 0.79, lo que indica un valor m\u00e1s bajo que para las depresiones k\u00e1rsticas, porque, en efecto, para el caso de los lagos no todas las depresiones existentes en el terreno tienen por qu\u00e9 ser impermeables o endorreicas que permitan el desarrollo de un lago si hay disponibilidad de agua para su formaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n

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Figura 10. La distribuci\u00f3n de tama\u00f1os de las depresiones k\u00e1rsticas (dolinas) de un karst es fractal si sigue una ley potencial. A partir del modelo digital de elevaciones, MDE, (Fig. A) del sistema k\u00e1rstico del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves se estiman las depresiones k\u00e1rsticas que se muestran en la figura B como un mapa binario para los p\u00edxeles del MDE (1 = depresi\u00f3n, 0 = no es depresi\u00f3n). En la figura C se muestra la calidad de la cartograf\u00eda de las depresiones k\u00e1rsticas donde se muestra la batimetr\u00eda o profundidad de cada depresi\u00f3n con respecto a su borde. La representaci\u00f3n del n\u00famero (abundancia) de depresiones mayores que una determina \u00e1rea en un gr\u00e1fico log-log (Fig. D) permite calcular el exponente de la ley potencial que caracteriza el car\u00e1cter fractal de la distribuci\u00f3n del tama\u00f1o de dolinas.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Relaci\u00f3n de la distribuci\u00f3n espacial de dolinas y de galaxias en el universo<\/h2>\n\n\n\n

Un nuevo ejemplo de universalidad fractal se encuentra al comparar la distribuci\u00f3n de dolinas en un macizo k\u00e1rstico y la distribuci\u00f3n de galaxias en el universo proyectadas sobre un plano. Si se sustituye cada dolina de un \u00e1rea dada por un punto, se genera un mapa de puntos como el que se muestra en la figura 11A, el cual proviene de sustituir cada depresi\u00f3n k\u00e1rstica de la figura 10B por su centroide. La figura 11A representa el mapa de puntos de las depresiones k\u00e1rsticas del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves. Igualmente, cada galaxia se puede sustituir por un punto. Por otra parte, la imagen de la figura 11B muestra una sobrecogedora fotograf\u00eda de las galaxias observadas en una zona del cielo por el telescopio espacial James Webb de la NASA. No obstante, los mapas de puntos de galaxias proyectados sobre un plano se han obtenido a partir de bases de datos astron\u00f3micas donde se han almacenado las coordenadas de miles de galaxias. La figura 12 muestra tres mapas de puntos, donde dos de ellos son mapas de puntos de dolinas y el otro es un mapa de puntos de galaxias. Por consiguiente, la anchura de dos de esos mapas representan unas pocas decenas de kil\u00f3metros mientras que el otro representa una anchura de millones de a\u00f1os luz, luego millones y millones de kil\u00f3metros. Y sin embargo los tres mapas se parecen. \u00bfSabr\u00eda el lector, adivinar, qu\u00e9 mapa de la figura 12 corresponde a un mapa de puntos de galaxias y cu\u00e1les son los dos mapas de puntos de depresiones k\u00e1rsticas?<\/p>\n\n\n

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Figura 11. En A se muestra el mapa de puntos de las dolinas del Parque Nacional de la Sierra de las Nieves mostrado en la figura 10B. Este mapa se obtiene al sustituir cada dolina por un punto representado por su centroide. En B se muestra una imagen de la distribuci\u00f3n de galaxias en el universo en una reciente imagen del telescopio espacial James Webb de la Nasa. Un mapa de puntos se puede obtener si cada galaxia se sustituye por un punto.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Ciertamente resulta muy dif\u00edcil decir cu\u00e1l es cu\u00e1l. Ya hemos dicho que se trata de otro caso de universalidad de los fractales, donde fen\u00f3menos f\u00edsicos muy diferentes dan lugar a un patr\u00f3n espacial muy parecido. En efecto, la distribuci\u00f3n espacial de los centros de dolinas est\u00e1 determinado por la distribuci\u00f3n espacial de las propias dolinas que depende fundamentalmente de la distribuci\u00f3n de las fracturas ya que en intersecciones de fracturas y en zonas de mayor densidad de fracturas (Fig. 13A) es donde tender\u00e1n a formarse las dolinas porque ser\u00e1 mayor el agua de lluvia que se infiltra y que disuelve la roca en superficie formando la depresi\u00f3n cerrada. Adem\u00e1s, es bien conocido que la disposici\u00f3n espacial de las fracturas geol\u00f3gicas es fractal. Para el caso de las galaxias el fen\u00f3meno f\u00edsico asociado es totalmente diferente. En este caso, los f\u00edsicos te\u00f3ricos han formulado la hip\u00f3tesis de la existencia de un entramado de filamentos de materia oscura (Fig. 13B) en cuyas intersecciones se forman las galaxias. Posiblemente dicho entramado de materia oscura tambi\u00e9n tenga tambi\u00e9n un car\u00e1cter fractal. <\/p>\n\n\n\n

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Figura 12. Estos tres mapas de puntos (im\u00e1genes de la izquierda, centro y derecha) representan dos mapas puntos de dolinas de dos sistemas k\u00e1rsticos espa\u00f1oles as\u00ed como un mapa de puntos de galaxias. \u00bfPuede el lector adivinar cu\u00e1l es el mapa de puntos de galaxias?<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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Figura 13. En A se muestra las trazas de una red de fracturas en un plano. En B se muestra una simulaci\u00f3n de la distribuci\u00f3n de materia oscura efectuada por la Agencia Espacial Europea (ESA).<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Relaci\u00f3n del karst y la tribu de los Hadza en Tanzania<\/h2>\n\n\n\n

La tribu de los Hadza, en el norte de Tanzania, tienen un h\u00e1bito de caza muy particular. Cuando salen de caza a la sabana del norte de Tanzania, donde viven, y llegan a un territorio propicio, su estrategia consiste en realizar carreras cortas de direcci\u00f3n aleatoria y dirigida a determinados grupos de arbustos donde pueden estar escondidos los animales a cazar. Pero efectuadas varias de estas carreras cortas, el grupo elige una direcci\u00f3n al azar y realiza una carrera larga para alcanzar otra zona diferente donde volver\u00e1n a repetir la secuencia de unas pocas carreras cortas. El proceso se ilustra gr\u00e1ficamente en la figura 14A. Esta estrategia resulta \u00f3ptima para conseguir cazar en una zona tan heterog\u00e9nea como la sabana, donde despu\u00e9s de una serie de carreras cortas los animales ya est\u00e1n alertados de la presencia de los cazadores y con seguridad habr\u00e1n huido hacia otra zona. Los cazadores responden a dicho hecho renovando su zona de caza mediante la carrera larga en una direcci\u00f3n al azar. Este tipo de caminata aleatoria donde a varias carreras cortas le sigue una carrera larga se conoce como caminata o vuelo de Levy y ha sido utilizado en geomorfolog\u00eda para la simulaci\u00f3n de la disposici\u00f3n espacial de grupos de depresiones k\u00e1rsticas (B y C en figura 14).<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a>
Figura 14. La figura A describe el patr\u00f3n espacial del h\u00e1bito de caza de la tribu de los Hadza. Una serie de carreras cortas (1,2,3 y 4 en azul) son seguidas de una carrera larga (1 en rojo) para volverse a repetir el proceso. Tanto las direcciones de las carreras cortas como las de las largas son aleatorias. Esto describe una caminata o vuelo de Levy. En B se muestra una simulaci\u00f3n por ordenador de un vuelo de Levy que al prescindir de las l\u00edneas que unen los puntos se genera un patr\u00f3n espacial ( Figura C) que sirve para describir la disposici\u00f3n espacial de las dolinas en un macizo k\u00e1rstico. <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Relaci\u00f3n del karst y los procesos de agregaci\u00f3n limitada por la difusi\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

La difusi\u00f3n es un proceso f\u00edsico donde las part\u00edculas se mueven de una regi\u00f3n de alta concentraci\u00f3n a una regi\u00f3n de baja concentraci\u00f3n, hasta obtener una distribuci\u00f3n uniforme. El movimiento de dichas part\u00edculas se puede simular como una caminata aleatoria discreta (figura 15A) o como un movimiento Browniano (figura 15B). El proceso de agregaci\u00f3n limitada por la difusi\u00f3n (ALD) es un proceso donde una serie de part\u00edculas siguen un movimiento de caminata aleatoria y cuando dos part\u00edculas se tocan se quedan pegadas formando un agregado que sigue con un movimiento de caminata aleatoria como si de una part\u00edcula simple se tratase. Este proceso de ALD se ha utilizado para simular redes k\u00e1rsticas tal y como se ilustra en la figura 16. La figura 16A muestra la situaci\u00f3n inicial donde 100 \u201cpart\u00edculas\u201d, que en realidad son 100 peque\u00f1os trozos de conductos k\u00e1rsticos, se han dispuesto al azar en el plano. Las 100 part\u00edculas comienzan su caminata aleatoria independiente para cada una de ellas y conforme chocan van quedando unidas formando un agregado que sigue movi\u00e9ndose de modo aleatorio. Con el transcurso de la simulaci\u00f3n (B y C en figura 16) el n\u00famero de part\u00edculas (agregados) va disminuyendo al mismo tiempo que van incrementado su tama\u00f1o. En \u00faltima estancia se formar\u00e1 un \u00fanico agregado (D en figura 16) con un tama\u00f1o igual a la suma de las 100 part\u00edculas iniciales y que constituye la red de cuevas simulada. La figura 17 muestra el realismo de estas simulaciones. La red de cuevas simulada tiene la longitud de conductos deseada, la rosa de direcciones que se desee y la dimensi\u00f3n fractal correcta para las redes de conductos k\u00e1rsticos epig\u00e9nicos que se ha visto anteriormente.<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/a>
Figura 15. En A se muestra una caminata aleatoria discreta mientras que en B se muestra una caminata aleatoria continua o movimiento browniano. En la caminata aleatoria discreta para cada intervalo temporal nos desplazamos una celda cuya elecci\u00f3n se deja al azar. En el caso continuo la direcci\u00f3n es al azar y el desplazamiento es un salto de tama\u00f1o variable pero no muy largo.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
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\"\"<\/a>
Figura 16. Ejemplo de simulaci\u00f3n de una red k\u00e1rstica por un proceso de agregaci\u00f3n limitada por la difusi\u00f3n. En A se muestra la situaci\u00f3n de partida con 100 fragmentos de una red k\u00e1rstica dispuestos aleatoriamente en el plano. El proceso comienza con todas las part\u00edculas movi\u00e9ndose en un proceso de caminata aleatoria y con la particularidad de que cuando dos fragmentos se tocan se quedan enlazados y se siguen moviendo conjuntamente como un solo elemento. Conforme avanza la simulaci\u00f3n el n\u00famero de agregados disminuye e incrementa su tama\u00f1o (B y C en la figura) hasta que finalmente se forma un \u00fanico agregado que es la red k\u00e1rstica simulada.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n
\n
\"\"<\/a>
Figura 17. La figura muestra el gran realismo de una red simulada por agregaci\u00f3n limitada por difusi\u00f3n (A) que puede compararse con una red real como es el caso de la red k\u00e1rstica de Mammoth Cave en Estados Unidos (B). <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

Conclusiones<\/h2>\n\n\n\n

El car\u00e1cter fractal del karst implica una gran relaci\u00f3n entre el karst y las matem\u00e1ticas. Se ha mostrado una selecci\u00f3n de ejemplos de este car\u00e1cter fractal tanto para el karst en superficie (exokarst) como para el karst subterr\u00e1neo (endokarst). Este car\u00e1cter fractal no es meramente anecd\u00f3tico, sino que tiene aplicaciones pr\u00e1cticas para determinar la porosidad de conductos, simular la red de conductos k\u00e1rsticos, determinar el porcentaje de red k\u00e1rstica que queda por descubrir, etc.<\/p>\n\n\n\n

Agradecimientos<\/h2>\n\n\n\n

Este trabajo ha sido patrocinado por el Proyecto de Investigaci\u00f3n PID2019-106435GB-I00 financiado por la Agencia Estatal de Investigaci\u00f3n del Ministerio de Ciencia e Innovaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

Referencias<\/h2>\n\n\n\n
    \n
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    TIERRA Y TECNOLOG\u00cdA N\u00ba 60 | DOI:  https:\/\/dx.doi.org\/10.21028\/eog.2022.12.05 | Autor: Eulogio Pardo Ig\u00fazquiza. Investigador Cient\u00edfico. Instituto Geol\u00f3gico y Minero de Espa\u00f1a (IGME, CSIC) Introducci\u00f3n Recordemos que el karst es un terreno geol\u00f3gico muy sui generis que presenta un paisaje caracter\u00edstico tanto en superficie como en el subsuelo. El karst se desarrolla principalmente en rocas carbon\u00e1ticas, las cuales, a […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":13377,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"tdm_status":"","tdm_grid_status":"","footnotes":""},"categories":[1425],"tags":[1488,1487],"class_list":{"0":"post-13359","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-tt-60","8":"tag-fractales","9":"tag-karst"},"yoast_head":"\r\nKarst y fractales - Tierra y Tecnolog\u00eda<\/title>\r\n<meta name=\"description\" content=\"\u00bfQu\u00e9 tienen en com\u00fan la distribuci\u00f3n de galaxias en el universo, la red del metro de Madrid y la estrategia de caza de la tribu de los Hadza en el norte de Tanzania?\" \/>\r\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\r\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/www.icog.es\/TyT\/index.php\/2022\/12\/karst-y-fractales\/\" \/>\r\n<meta property=\"og:locale\" content=\"es_ES\" \/>\r\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\r\n<meta property=\"og:title\" content=\"Karst y fractales - 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