{"id":13306,"date":"2022-11-21T11:33:25","date_gmt":"2022-11-21T11:33:25","guid":{"rendered":"https:\/\/www.icog.es\/TyT\/?p=13306"},"modified":"2022-11-21T12:11:03","modified_gmt":"2022-11-21T12:11:03","slug":"simetrias-del-cristal-y-mucho-mas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.icog.es\/TyT\/index.php\/2022\/11\/simetrias-del-cristal-y-mucho-mas\/","title":{"rendered":"SIMETR\u00cdAS. DEL CRISTAL Y MUCHO M\u00c1S"},"content":{"rendered":"\n

TIERRA Y TECNOLOG\u00cdA N\u00ba 60 | DOI:\u00a0<\/strong><\/strong>https:\/\/dx.doi.org\/10.21028\/mac.2022.11.21<\/a> | Autores: \u2020Miquel \u00c0ngel Cuevas-Diarte, Laura Bay\u00e9s-Garc\u00eda, Teresa Calvet-Pallas.<\/strong> Dpt. Mineralogia, Petrologia i Geologia Aplicada. Facultat de Ci\u00e8ncies de la Terra. Universitat de Barcelona. c\/ Mart\u00ed i Franqu\u00e8s, s\/n. 08028 Barcelona. macuevasdiarte@ub.edu<\/a><\/p>\n\n\n\n

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Introducci\u00f3n<\/h2>\n\n\n\n

Si vamos a hablar de simetr\u00eda, primero defin\u00e1mosla. \u00bfQu\u00e9 entendemos por simetr\u00eda? El diccionario de la Real Academia Espa\u00f1ola (RAE) nos dice:<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Correspondencia exacta en forma, tama\u00f1o y posici\u00f3n de las partes de un todo.<\/li>\n\n\n\n
  2. Biol. Correspondencia que se puede distinguir, de manera ideal, en el cuerpo de una planta o de un animal respecto a un centro, un eje o un plano, de acuerdo con los cuales se disponen ordenadamente \u00f3rganos o partes equivalentes.<\/li>\n\n\n\n
  3. Geom. Correspondencia exacta en la disposici\u00f3n regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relaci\u00f3n a un centro, un eje o un plano.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    Efectivamente, podr\u00edamos precisar un poco m\u00e1s, pero es un buen punto de partida.<\/p>\n\n\n\n

    De hecho, la palabra simetr\u00eda, que proviene del t\u00e9rmino griego symmetros<\/em>, de sym<\/em> \u2018la misma\u2019 y metros<\/em> \u2018medida\u2019, para muchas personas significa m\u00e1s: proporci\u00f3n, equilibrio, orden, armon\u00eda, belleza. Es as\u00ed de rico y complejo.<\/p>\n\n\n\n

    La simetr\u00eda es un concepto fundamental de la ciencia, que se utiliza en Matem\u00e1ticas, F\u00edsica, Qu\u00edmica, Biolog\u00eda, Cristalograf\u00eda, etc. Pero no tan solo en ciencia. Tamb\u00e9 es habitual en arquitectura, literatura, m\u00fasica, ornamentaci\u00f3n, arte, etc.<\/p>\n\n\n\n

    En nuestro entorno hay una simetr\u00eda evidente como es la simetr\u00eda bilateral de muchos animales y plantas, la simetr\u00eda de rotaci\u00f3n de orden 3, 4, 5, 6…en las plantas, la simetr\u00eda de orden 2, 3, 4, 6 en los cristales, la simetr\u00eda hexagonal de los copos de nieve, de los enjambres de abejas, de los ojos de los insectos…la simetr\u00eda de traslaci\u00f3n en muchas ornamentaciones.<\/p>\n\n\n\n

    Otras simetr\u00edas menos abundantes son, por ejemplo, las rotaciones de orden superior a 9 que pueden observarse en algunos objetos ornamentales, torres de edificaciones y de iglesias con rotaciones de orden 7, rosetones de catedrales con rotaciones de orden 12 o 16, o plantas octogonales de edificios o ciudades.<\/p>\n\n\n\n

    Pero sea cual sea su simetr\u00eda, un conjunto de objetos regularmente distribuidos en el espacio se puede describir con las leyes de la Cristalograf\u00eda que se aplican a los s\u00f3lidos cristalinos.<\/p>\n\n\n\n

    La simetr\u00eda en el arte es muy abundante desde los principios de la humanidad. Es verdad que m\u00e1s en la pintura o arte decorativas que en la escultura. En la escultura, si se trata de figuras humanas podemos encontrar la simetr\u00eda bilateral inherente a nosotros. En el caso de la pintura o de les artes decorativas (pavimentos, dibujos en jarrones, cenefas, etc.) la simetr\u00eda se reduce a una simetr\u00eda en dos dimensiones, que fundamentalmente incluye la simetr\u00eda de reflexi\u00f3n (Figura 1), aunque la traslaci\u00f3n y las rotaciones en el mismo plano tambi\u00e9n pueden ser habituales seg\u00fan los casos.<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/a>
    Figura 1. Operaciones de simetr\u00eda en el plano (simetr\u00eda bidimensional). Traslaci\u00f3n, reflexi\u00f3n, deslizamiento, rotaci\u00f3n de orden 1 (monaria), de orden 2 (binaria), de orden 3 (ternaria), de orden 4 (cuaternaria) y de orden 6 (senaria). (Dibujo de M. A. Cuevas-Diarte).<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Del cristal<\/h2>\n\n\n\n

    Un cristal es un s\u00f3lido ordenado y de este orden se deducen una serie de propiedades. Un cristal es peri\u00f3dico (las unidades que lo componen se distribuyen peri\u00f3dicamente en el espacio), es homog\u00e9neo (las propiedades de la  materia cristalina son id\u00e9nticas en cada una de sus partes), es anis\u00f3tropo (las propiedades de la materia cristalina var\u00edan con la direcci\u00f3n, como consecuencia de que la periodicidad en el cristal no tiene porqu\u00e9 ser igual a lo largo de todas las direcciones), i es sim\u00e9trico (las unidades se distribuyen en el espacio siguiendo unos patrones con un cierto contenido de simetr\u00eda, que hace equivalentes \u00e1tomos, iones, o mol\u00e9culas en el cristal).<\/p>\n\n\n\n

      El estudio o la descripci\u00f3n de un cristal lo podemos abordar a dos niveles: macrosc\u00f3pico y microsc\u00f3pico, los dos estrechamente relacionados. El orden de los \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas en el interior del cristal es la causa de que los cristales formen poliedros regulares m\u00e1s o menos bien formados a escala macrosc\u00f3pica. Dicho de otra manera, las formas externas de los cristales son el efecto de su orden interno. La simetr\u00eda macrosc\u00f3pica es una simetr\u00eda finita, ya que los poliedros cristalinos son figuras finitas, y el n\u00famero de operaciones de simetr\u00eda que los describen tambi\u00e9n es finito. En cambio, la simetr\u00eda microsc\u00f3pica es infinita ya que la distribuci\u00f3n de \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas en el interior del cristal se puede considerar infinita, aunque limitada por las caras. El interior del cristal se describe a la escala del Angstrom. Recordemos que un metro son 1010<\/sup> \u00c5, es decir, diez mil millones de Angstroms.<\/p>\n\n\n\n

    Vayamos por partes. Cuando miramos un cristal nos sorprende, de forma inmediata, la existencia de caras planas, formando \u00e1ngulos precisos, de aristas bien definidas. Sea cual sea el tama\u00f1o del cristal. Unas veces las veremos a simple vista y otras ser\u00e1 necesaria una lupa, un microscopio \u00f3ptico, o incluso un microscopio electr\u00f3nico. Los cristales forman poliedros regulares, como hemos dicho, debido al orden interno de sus componentes. Este orden peri\u00f3dico comporta propiedades que han sido fundamentales para nuestra vida cotidiana. Observando estas morfolog\u00edas, algunas veces espectacularmente bellas y perfectas, nace la Cristalograf\u00eda. De hecho, el t\u00e9rmino cristal proviene de la palabra krystallos<\/em> con la que los griegos denominaban al hielo y a aquellos minerales transparentes, como el cristal de roca, que supon\u00edan formado a partir del fr\u00edo. Sin entrar en la historia de la Cristalograf\u00eda, es justo rendir un homenaje a todas aquellas personas que han hecho posible su desarrollo. Inicialmente, y hasta el a\u00f1o 1912 en el que se descubre la difracci\u00f3n de rayos X, que supuso la posibilidad de determinar la estructura interna de los cristales, a partir de su observaci\u00f3n macrosc\u00f3pica y de algunas pocas propiedades medibles con instrumentos rudimentarios, tan solo se pod\u00edan establecer una serie de hip\u00f3tesis sobre su interior, aunque muchas de ellas corroboradas posteriormente. Fue necesario reinventar la noci\u00f3n de \u00e1tomo, y despu\u00e9s introducir la de mol\u00e9cula, para poder comenzar a introducir la noci\u00f3n de que en el interior del cristal hay una peque\u00f1a parte que se repite peri\u00f3dicamente en las tres direcciones del espacio y que nos describe el conjunto del cristal. Este ordenamiento interno se traduce en la morfolog\u00eda que observamos macrosc\u00f3picamente. Una substancia cristalina tiene una estructura interna determinada y \u00e9sta se traduce en una forma externa acorde con ella.<\/p>\n\n\n\n

    La simetr\u00eda externa de los cristales, durante mucho tiempo, permiti\u00f3 su clasificaci\u00f3n, sobre todo en momentos en que las colecciones de animales, plantas, f\u00f3siles y minerales se convirtieron en una moda entre la aristocracia, la burgues\u00eda, y los eclesi\u00e1sticos.<\/p>\n\n\n\n

    El desarrollo de la Cristalograf\u00eda ha sido tan espectacular como provechoso para otras ciencias afines, y sus aplicaciones est\u00e1n tan presentes en nuestra vida cotidiana y son de una importancia tan relevante para el progreso de la sociedad del bienestar, que la Asamblea General de las Naciones Unidas declar\u00f3 2014 como A\u00f1o Internacional de la Cristalograf\u00eda en su reconocimiento.<\/p>\n\n\n\n

    La forma sim\u00e9trica de los cristales no deja de ser sorprendente. Es cierto que esta simetr\u00eda en algunos casos es diferente de la simetr\u00eda que nos muestran las flores y los animales, o la simetr\u00eda en algunas obras de arte, de arquitectura, musicales, etc. Pero no menos bella. La complejidad de los seres vivos comporta una libertad de variaciones que en los cristales, donde domina la l\u00ednea recta, no existe. Pero si las formas cristalinas pueden considerarse esencialmente primitivas desde un punto de vista art\u00edstico, poseen, sin duda, una atracci\u00f3n est\u00e9tica. Sus formas nos acercan a la comprensi\u00f3n de su interior y del mundo que nos rodea. La l\u00ednea recta es un camino que ayuda a la repetici\u00f3n exacta y peri\u00f3dica de una misma unidad, que como hemos dicho es consustancial al cristal. Aunque existen formas cristalinas que podr\u00edamos catalogar como \u201csencillas\u201d como un cubo, muchos cristales, durante su proceso de crecimiento, desarrollan una cantidad y diversidad de caras en la misma forma que incrementan la fascinante complejidad de la forma. Por ejemplo, un cubo puede presentar caras m\u00e1s o menos desarrolladas de octaedro en sus v\u00e9rtices, y de dodecaedro en sus aristas, todas ellas formas de una misma simetr\u00eda c\u00fabica. Cuando un cristal presenta muchas caras, algunas veces resulta dif\u00edcil decidir cu\u00e1les de ellas deben tomarse como esencialmente del mismo tipo y cu\u00e1les corresponder\u00edan a formas diferentes. Este ha sido uno de los problemas de los primeros cristal\u00f3grafos. Diferentes cristales de una misma sustancia, incluso crecidos al mismo tiempo, normalmente no muestran exactamente la misma forma debido a cambios durante el proceso de crecimiento. Pero los \u00e1ngulos diedros entre las caras de una misma especie siempre son absolutamente id\u00e9nticos. Esta fue la base en los albores de esta ciencia. La diversidad de formas cristalinas es extraordinaria. Sin duda es una sinfon\u00eda de bellas formas.<\/p>\n\n\n\n

    La forma externa de los cristales depende de la velocidad relativa de crecimiento de las diferentes caras. Aquellas que tienen una velocidad de crecimiento m\u00e1s baja ser\u00e1n las que tender\u00e1n a predominar en la forma cristalina. Las de velocidades elevadas tienden a desaparecer. Las velocidades de crecimiento de las caras, a su vez, dependen de la distribuci\u00f3n espacial de las unidades de crecimiento en el interior del cristal. Esta distribuci\u00f3n es una consecuencia de las fuerzas de atracci\u00f3n y de la distribuci\u00f3n de las fuerzas de enlace entre las unidades estructurales en cada cara. La forma externa del cristal no deja de ser una buena indicaci\u00f3n de la distribuci\u00f3n sim\u00e9trica de las unidades estructurales en su interior.  <\/p>\n\n\n\n

    Dicho esto, cuando observamos un cristal que durante el proceso de crecimiento haya desarrollado suficientemente sus caras, lo que podemos apreciar es que algunas de estas caras, son exactamente id\u00e9nticas las unas a las otras despu\u00e9s de efectuar algunos movimientos en el espacio. Es lo que denominamos una operaci\u00f3n de simetr\u00eda. Imaginemos un cubo. Cada cara del cubo es id\u00e9ntica a otra si la giramos 90\u00ba. Y si continuamos girando la cara, despu\u00e9s de efectuar cuatro veces el mismo movimiento, reencontramos la cara inicial. Cierto, en el cubo existen rotaciones que nos hacen equivalentes las caras entre s\u00ed. De 90\u00ba, pero tambi\u00e9n de 120\u00ba si nos situamos en sus v\u00e9rtices, donde veremos tres caras equivalentes. As\u00ed mismo podemos dividir las caras en dos mitades con planos paralelos a las aristas, y con planos diagonales de las caras. Todos estos movimientos que dejan invariantes las caras, las aristas o los v\u00e9rtices, son operaciones de simetr\u00eda macrosc\u00f3pica, y los denominamos elementos de simetr\u00eda puntual. Y todos los elementos, que en n\u00famero finito, describen la simetr\u00eda de un poliedro cristalino se intersectan en un punto que es el centro del poliedro. Por esta raz\u00f3n hablamos de simetr\u00eda finita en este caso.<\/p>\n\n\n\n

    Cada poliedro tiene unos elementos de simetr\u00eda caracter\u00edsticos que lo describen y que permiten su clasificaci\u00f3n. El conjunto de elementos de simetr\u00eda de un poliedro forman un grupo de operaciones en el sentido matem\u00e1tico del t\u00e9rmino. Las matem\u00e1ticas siempre han sido y son un indispensable soporte a las otras ciencias. De las numerosas combinaciones te\u00f3ricamente posibles, muchas no son factibles geom\u00e9tricamente en el espacio, y otras dan lugar a combinaciones equivalentes entre s\u00ed. En total existen 32 grupos de operaciones de simetr\u00eda finita o puntual, que se pueden dividir en los 7 sistemas cristalinos.<\/p>\n\n\n\n

    Las operaciones de simetr\u00eda son pocas:<\/p>\n\n\n\n

    Traslaci\u00f3n: Repetici\u00f3n peri\u00f3dica de un objeto en una determinada direcci\u00f3n. Los objetos est\u00e1n separados un cierto vector de traslaci\u00f3n con un cierto m\u00f3dulo. Esta operaci\u00f3n existe en todas las ornamentaciones infinitas, papeles pintados, mosaicos, interior de un cristal, etc. No est\u00e1 presente cuando se trata de un objeto finito, como un pol\u00edgono o un poliedro.<\/p>\n\n\n\n

    Reflexi\u00f3n: Repetici\u00f3n de un objeto por un plano (plano de reflexi\u00f3n o plano de simetr\u00eda y en dos dimensiones l\u00ednea de reflexi\u00f3n), de manera que los dos objetos se encuentran equidistantes del plano. Un espejo es un plano de reflexi\u00f3n que nos restituye nuestra imagen reflejada. Los seres vivos superiores estamos divididos por un plano de reflexi\u00f3n (simetr\u00eda bilateral).<\/p>\n\n\n\n

    Deslizamiento: Repetici\u00f3n de un objeto por traslaci\u00f3n, pero esta vez asociada a una reflexi\u00f3n a media traslaci\u00f3n, dando como resultado objetos capiculados a lo largo de una direcci\u00f3n (plano de deslizamiento en tres dimensiones; l\u00ednea de deslizamiento en dos dimensiones). Como la traslaci\u00f3n esta operaci\u00f3n est\u00e1 presente en las representaciones peri\u00f3dicas en dos y tres dimensiones. En este \u00faltimo caso, los m\u00f3dulos de los vectores de traslaci\u00f3n pueden ser muy diversos.<\/p>\n\n\n\n

    Rotaci\u00f3n: Repetici\u00f3n de un objeto por giro alrededor de un eje (eje de rotaci\u00f3n o eje de simetr\u00eda en tres dimensiones; punto de rotaci\u00f3n en dos dimensiones) de un \u00e1ngulo de 360\u00b0\/n donde n es el orden del eje. Si n=2 la rotaci\u00f3n es de 360\/2=180\u00b0, si n=3 la rotaci\u00f3n es de 360\/3=120\u00b0, etc. La rotaci\u00f3n se produce girando el objeto en el plano perpendicular al eje. Este \u00e1ngulo puede tomar cualquier valor en los animales, plantas, flores, mol\u00e9culas aisladas, etc. En los cristales no existen las rotaciones de orden 5, o superiores a 6. En tres dimensiones puede estar asociada a una traslaci\u00f3n a lo largo del eje dando lugar a lo ejes helicoidales, que encontramos tambi\u00e9n en las escaleras de caracol, tornillos de ferreter\u00eda, etc.<\/p>\n\n\n\n

    Inversi\u00f3n:Repetici\u00f3n de un objeto respecto de un punto (centro de inversi\u00f3n o centro de simetr\u00eda) en el espacio. Tan solo existe en tres dimensiones. Algunos objetos contienen el centro de inversi\u00f3n, como un cubo donde los v\u00e9rtices y las aristas est\u00e1n invertidos respecto del punto central del poliedro.<\/p>\n\n\n\n

    Rotaci\u00f3n-Inversi\u00f3n: Repetici\u00f3n de un objeto por giro de un cierto \u00e1ngulo alrededor de un eje seguido de la inversi\u00f3n respecto del centro de inversi\u00f3n (eje de rotaci\u00f3n inversi\u00f3n o eje de inversi\u00f3n). Se trata de una \u00fanica operaci\u00f3n que resulta de la combinaci\u00f3n de la rotaci\u00f3n y la inversi\u00f3n. Es tan s\u00f3lo posible en tres dimensiones. Presente, por ejemplo en los poliedros.<\/p>\n\n\n\n

    La forma externa de un cristal refleja la simetr\u00eda del grupo puntual de operaciones de simetr\u00eda. Los cristales est\u00e1n formados por una o varias formas cristalinas, todas ellas correspondientes al grupo puntual del cristal. Una forma cristalina es el conjunto de caras relacionadas entre ellas por la simetr\u00eda del grupo puntual. Las formas cristalinas pueden ser: sencilla (formada por una sola forma cristalina) o compuesta (formada por m\u00e1s de una forma cristalina). Un octaedro es una forma sencilla. Una forma compuesta estar\u00eda formada al mismo tiempo por caras de prisma, de pir\u00e1mide, etc. Sea una forma sencilla o compuesta, la estructura interna del cristal induce un h\u00e1bito caracter\u00edstico de la morfolog\u00eda externa cristalina. Las unidades estructurales del cristal pueden estar distribuidas de forma similar en las tres direcciones del espacio (h\u00e1bito isom\u00e9trico), estar distribuidas predominantemente de forma bidimensional (h\u00e1bito laminar), tener una dimensi\u00f3n m\u00e1s desarrollada que las otras dos (h\u00e1bito prism\u00e1tico), o estar distribuidas pr\u00e1cticamente en una dimensi\u00f3n (h\u00e1bito acicular).<\/p>\n\n\n\n

    Adem\u00e1s, durante el proceso de crecimiento (en la naturaleza o en el laboratorio), los cristales pueden dar lugar a maclas, que son asociaciones de cristales siguiendo una cierta ley de simetr\u00eda. Como la macla de contacto de la albita, la macla de rotaci\u00f3n de la ortoclasa, la macla de interpenetraci\u00f3n de la fluorita, la macla c\u00edclica del aragonito, etc.<\/p>\n\n\n\n

    Si ahora nos situamos en el interior del cristal, \u00bfqu\u00e9 observaremos? Obviamente \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas, seg\u00fan la naturaleza qu\u00edmica de la sustancia que estudiemos. En este tr\u00e1nsito recordemos que nos situamos, como ya hemos dicho antes, a la escala del Angstrom. Aqu\u00ed no nos sirven las lupas, ni los microscopios \u00f3pticos. Necesitamos recurrir a la difracci\u00f3n de rayos X (de laboratorio o en un sincrotr\u00f3n), de neutrones, o de electrones. El orden interno de los cristales comporta que los electrones de los \u00e1tomos difundan el haz de estas radiaciones en todas las direcciones del espacio y las desv\u00eden en determinadas direcciones con m\u00e1xima intensidad. A partir del an\u00e1lisis de estas direcciones discretas y de la intensidad en cada una de ellas, somos capaces de determinar d\u00f3nde est\u00e1n situados los \u00e1tomos en el espacio tridimensional. Y con mucha precisi\u00f3n, si el cristal es de suficiente calidad y cumple con algunas condiciones.<\/p>\n\n\n\n

    Este orden interno, microsc\u00f3pico, comporta un cierto contenido de simetr\u00eda. Aqu\u00ed hablaremos de simetr\u00eda microsc\u00f3pica, de simetr\u00eda espacial, de simetr\u00eda infinita. Dada la escala a la que nos situamos, el cristal puede considerarse como un universo infinito, limitado per las caras. Las operaciones de simetr\u00eda hacen equivalentes \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas. Son las mismas operaciones que hemos descrito en la simetr\u00eda macrosc\u00f3pica, y algunas m\u00e1s: la traslaci\u00f3n, que asociada a la reflexi\u00f3n da lugar a los planos de deslizamiento, y asociada a la rotaci\u00f3n a los ejes helicoidales. Tambi\u00e9n aqu\u00ed el conjunto de elementos de simetr\u00eda que describen el interior de un cristal forman un grupo de operaciones en el sentido matem\u00e1tico del t\u00e9rmino. En dos dimensiones son 17. Es la simetr\u00eda presente en cualquier dibujo u ornamentaci\u00f3n que pretenda llenar todo el plano a partir de un motivo repetido peri\u00f3dicamente por dos translaciones (la mayor parte de papeles pintados que decoran las paredes de las habitaciones, la ornamentaci\u00f3n de las paredes y pavimentos en la arquitectura mud\u00e9jar de Arag\u00f3n o de la Alhambra de Granada, o de Los Reales Alc\u00e1zares de Sevilla, los pavimentos de muchas aceras de nuestras ciudades). En tres dimensiones son 230 los grupos de operaciones de simetr\u00eda espacial o de simetr\u00eda infinita. Si introducimos diferencias de color (simetr\u00eda policrom\u00e1tica) los grupos aumentan a 1651 en simetr\u00eda dicrom\u00e1tica. Cada uno de estos grupos de operaciones de simetr\u00eda espacial es el resultado de combinar una red de puntos, que representa la distribuci\u00f3n peri\u00f3dica de los \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas en el interior del cristal, con el conjunto de operaciones de simetr\u00eda que representan las equivalencias entre los \u00e1tomos, iones o mol\u00e9culas en el espacio. En dos dimensiones consideramos cinco redes planas en funci\u00f3n de la simetr\u00eda que pueden contener, y en tres dimensiones son 14. En todos los casos la geometr\u00eda de la red queda configurada por la simetr\u00eda que incluye.<\/p>\n\n\n\n

    Y mucho m\u00e1s<\/h2>\n\n\n\n

    Como dicen muchos autores, y entre ellos Coxeter (1969), algunas de las operaciones de simetr\u00eda que hemos definido en el cristal pueden visualizarse tambi\u00e9n en muy diversos lugares y situaciones. Por citar tan solo un ejemplo sencillo, en las letras may\u00fasculas. Entre otras, la E contiene una reflexi\u00f3n horizontal, la A una vertical, la N una rotaci\u00f3n de 180\u00b0, y la H dos reflexiones perpendiculares con una rotaci\u00f3n binaria en su intersecci\u00f3n, tal como muestra la Figura 2.<\/p>\n\n\n

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    \"\"<\/a>
    Figura 2. Operaciones de simetr\u00eda en algunas letras may\u00fasculas. (Dibujo de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Igualmente las podemos observar en los pol\u00edgonos. Un tri\u00e1ngulo contiene tres reflexiones y un punto de rotaci\u00f3n de orden 3 en su intersecci\u00f3n, un cuadrado cuatro con un punto de rotaci\u00f3n de orden 4, un pent\u00e1gono cinco con la rotaci\u00f3n de orden 5, un hex\u00e1gono seis…como muestra la Figura 3.<\/p>\n\n\n

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    \"\"<\/a>
    Figura 3. Operaciones de simetr\u00eda en pol\u00edgonos. (Dibujo de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Inicialmente, el arte pict\u00f3rico y escult\u00f3rico ha sido, sobre todo, una imitaci\u00f3n de la naturaleza. De hecho, antes de incorporar los diferentes tipos de perspectiva y otros elementos, a menudo la simetr\u00eda se impone a la imitaci\u00f3n de la naturaleza. Otras veces la representaci\u00f3n no es tan sim\u00e9trica como parece a primera vista. Pero incluso en representaciones asim\u00e9tricas podemos ver la simetr\u00eda como norma de la cual nos alejamos. La simetr\u00eda bilateral se diluye cada vez m\u00e1s en una noci\u00f3n vaga de dibujo equilibrado como puede apreciarse en la Figura 4. No obstante, una de las simetr\u00edas m\u00e1s frecuentes en la pintura es la reflexi\u00f3n (Cuevas-Diarte 2015).<\/p>\n\n\n

    \n
    \"\"<\/a>
    Figura 4. Sarc\u00f3fago romano donde se aprecia una simetr\u00eda de reflexi\u00f3n aparente. (Fotograf\u00eda de M.A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Dando un gran salto en el tiempo Salvador Dal\u00ed (1904-1989), artista genial, gran interesado en la ciencia y en abrir nuevos caminos en el arte, basaba parte de su obra en los principales fundamentos te\u00f3ricos del Discurso sobre la figura c\u00fabica de Juan de Herrera<\/em>, ge\u00f3metra, matem\u00e1tico y arquitecto, quien, a su vez, hab\u00eda elaborado su Discurso bajo la inspiraci\u00f3n de estudios sobre geometr\u00eda de Ram\u00f3n Llull, que en la \u00e9poca medieval propon\u00eda vincular la ciencia y la religi\u00f3n con el conocimiento. En A prop\u00f3sito del \u201cDiscurso sobre la forma c\u00fabica\u201d de Juan de Herrera,<\/em> como ya hab\u00eda hecho anteriormente en obras como Corpus hipercubus <\/em>el artista se basa en las teor\u00edas herrerianas sobre los principios de la formaci\u00f3n del cubo. Dal\u00ed propone la imagen de un cubo insertado en otra forma c\u00fabica (un hipercubo) construida a partir de letras, que se pueden leer en diversas direcciones, y con el nombre del arquitecto (Juan) en sus aristas.<\/p>\n\n\n

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    Figura 5. A prop\u00f3sito del \u201cDiscurso sobre la forma c\u00fabica\u201d de Juan de Herrera, obra de Salvador Dal\u00ed de 1960.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    En la ornamentaci\u00f3n, la traslaci\u00f3n y la reflexi\u00f3n (aislada o combinada con la traslaci\u00f3n en un deslizamiento) est\u00e1n frecuentemente presentes. La Figura 6 muestra un modelo.<\/p>\n\n\n

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    Figura 6. Ornamentaci\u00f3n a base de traslaci\u00f3n (parte superior), reflexi\u00f3n (parte central), y deslizamiento (parte inferior). (Imagen de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Los mosaicos y pavimentos son otro ejemplo. Desde la antig\u00fcedad, y en particular durante las civilizaciones griega y romana, los mosaicos han constituido un elemento ornamental importante, y en ello observamos una cierta simetr\u00eda, como no puede ser de otra manera. Los papeles pintados, las alfombras, y muchos otros elementos muestran simetr\u00eda. En la actualidad tambi\u00e9n, algunas obras de artistas famosos como Ai WeiWei tambi\u00e9n se basan en la simetr\u00eda (Figura 7).<\/p>\n\n\n

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    Figura 7. Papel pintado obra del artista Ai WeiWei. (Fotograf\u00eda de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Y los pavimentos de muchas casas, no exclusivamente modernistas, que tambi\u00e9n, y de las calles nos muestran diferentes tipos de simetr\u00eda: hexagonal como en las baldosas Gaud\u00ed del paseo de Gracia de Barcelona (Figura 8), cuadrada en las baldosas Barcelona de otras calles de la ciudad. Cuando \u201cllenamos\u201d un plano, sea el suelo, una pared, un techo… con un cierto motivo que se repite peri\u00f3dicamente, introducimos simetr\u00eda. Es obligado.<\/p>\n\n\n

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    Figura 8. Pavimento Gaud\u00ed del paseo de Gracia de Barcelona con la simetr\u00eda impl\u00edcita superpuesta. (Fotograf\u00eda de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Estos pavimentos, papeles pintados, etc. podemos considerar que se han generado a partir de la repetici\u00f3n peri\u00f3dica de un \u201cmotivo\u201d en las dos direcciones del plano por dos vectores de traslaci\u00f3n no paralelos. Los extremos de estos vectores forman una red o ret\u00edculo de puntos en el plano. Los dos vectores delimitan un paralelogramo que por repetici\u00f3n en las dos direcciones del plano, generan todo el dibujo. Diferentes valores de los m\u00f3dulos de los dos vectores y del \u00e1ngulo que forman, generan diversas geometr\u00edas del ret\u00edculo. Sin \u00e1nimo de entrar a describirlos, diremos que tan solo hay cinco tipos de redes planas o bidimensionales. Su geometr\u00eda viene determinada por la simetr\u00eda que contenga. Si la simetr\u00eda es baja, los m\u00f3dulos y el \u00e1ngulo entre los vectores pueden tener cualquier valor. Si la simetr\u00eda es alta, la geometr\u00eda queda fijada: por ejemplo, si contiene rotaciones 90\u00b0, los dos vectores deber\u00e1n tener m\u00f3dulos id\u00e9nticos y el \u00e1ngulo entre ellos ha de ser de 90\u00b0 (red cuadrada); si contiene rotaciones de 120\u00b0 el \u00e1ngulo ha de ser de 120\u00b0. El conjunto de elementos de simetr\u00eda de una red bidimensional forman un grupo en el sentido matem\u00e1tico del t\u00e9rmino, y tan solo hay 17. Los diecisiete los podemos encontrar representados en los magn\u00edficos ornamentos de la Alhambra de Granada, por ejemplo. El extraordinario artista M. C. Escher los represent\u00f3 a partir de motivos muy diversos y originales, y la Uni\u00f3n Internacional de Cristalograf\u00eda los adopt\u00f3 como modelos de ejercicios cristalinos. La Figura 9 muestra un ejemplo de red bidimensional. En tres dimensiones seguir\u00edamos el mismo patr\u00f3n pero un poco m\u00e1s complicado.<\/p>\n\n\n

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    Figura 9. Modelo de red bidimensional rectangular con los elementos de simetr\u00eda compatibles. (Dibujo de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Como se describe en Cuevas-Diarte et al.<\/em> (2017), este modelo de ret\u00edculo bidimensional puede aplicarse tambi\u00e9n al Ensanche de Cerd\u00e0 que supuso la expansi\u00f3n de Barcelona fuera de sus murallas medievales (Figura 10). Cerd\u00e0 estructur\u00f3 la nueva Barcelona en calles perpendiculares entre s\u00ed, excepto alguna v\u00eda en diagonal o siguiendo un meridiano o un paralelo terrestres, que obedece a un sentido de regularidad, de ciudad equilibrada e igualitaria, que puede crecer en todos los sentidos. Si prescindimos de los detalles de los edificios, el conjunto de \u201cislas\u201d o \u201cmanzanas\u201d de casas del Ensanche se repiten peri\u00f3dicamente en las dos direcciones del plano tal como hemos descrito en los pavimentos o en los papeles pintados. Esta repetici\u00f3n peri\u00f3dica comporta una simetr\u00eda de traslaci\u00f3n. Si nos situamos en uno de sus cruces, cualquiera de ellos al azar, que tomaremos como origen de coordenadas, encontramos otro cruce pr\u00e1cticamente id\u00e9ntico al final de la isla de casas tanto si nos desplazamos por una de las calles o por la calle perpendicular. Hemos definido dos vectores de traslaci\u00f3n de m\u00f3dulos pr\u00e1cticamente id\u00e9nticos y que forman un \u00e1ngulo de 90\u00ba. Estos dos vectores definen una superficie que podemos repetir en las dos direcciones del plano de forma continuada en todo el Ensanche. Es el mismo modelo que utilizamos en la materia cristalina, aunque en este caso el conjunto ser\u00eda tridimensional. Podemos referirnos a la Figura 9 con la excepci\u00f3n de que en el ret\u00edculo del ensanche los m\u00f3dulos de los dos vectores son id\u00e9nticos y el \u00e1ngulo entre ellos de 90\u00ba, ya que la red es una red cuadrada, con simetr\u00eda de rotaci\u00f3n de 180 y de 90\u00ba y reflexiones seg\u00fan los lados, a media distancia y seg\u00fan las diagonales del cuadrado que configuran los vectores de traslaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n

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    Figura 10. Vista a\u00e9rea de una parte del Ensanche de Cerd\u00e0 donde se aprecia el ret\u00edculo. (Google Images)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Siguiendo en el \u00e1mbito de la arquitectura y centrados en Barcelona aunque puede hacerse extensible a otras muchas ciudades, la simetr\u00eda est\u00e1 presente tambi\u00e9n en muchas de las fachadas de nuestros edificios. En este caso, excepto excepciones, se limita a una simetr\u00eda de reflexi\u00f3n y\/o de traslaci\u00f3n. Elementos como las ventanas o los balcones se repiten peri\u00f3dicamente a lo largo de la fachada y en muchos casos est\u00e1n relacionados por l\u00edneas verticales de reflexi\u00f3n y alguna vez tambi\u00e9n horizontales. En edificios m\u00e1s modernos como algunas torres de vidrio, cada uno de ellos puede idealizarse como un prisma tetragonal. Prisma por las cuatro caras paralelas a la direcci\u00f3n vertical. Tetragonal porque verticalmente contiene un eje de rotaci\u00f3n de orden 4 que nos hace equivalentes los cuatro lados por una rotaci\u00f3n de 90\u00ba. Tambi\u00e9n podemos observar ejes de rotaci\u00f3n de orden 2 perpendiculares al principal, as\u00ed como reflexiones verticales a mitad de las caras del prisma y seg\u00fan las diagonales, y una reflexi\u00f3n horizontal que nos divide el edificio en la mitad superior y la mitad inferior. La geometr\u00eda inducida por esta simetr\u00eda hace que los dos lados de la torre sean iguales, con una planta cuadrada. Si, por el contrario, la planta es rectangular en lugar de cuadrada, entonces el eje de orden cuatro desaparece y la simetr\u00eda se reduce a tres ejes de rotaci\u00f3n de orden 2 perpendiculares entre s\u00ed, con tres planos de reflexi\u00f3n perpendiculares a cada uno de los ejes. Se trata entonces de un prisma r\u00f3mbico.<\/p>\n\n\n\n

    Algunos otros elementos de la ciudad tambi\u00e9n se caracterizan por su simetr\u00eda. Estamos pensando en las fuentes de agua, en las farolas, de los pavimentos de los cuales ya hemos hablado, as\u00ed como de muchos elementos de ornamentaci\u00f3n que se encuentran en nuestras calles o en el interior o en el exterior de algunos edificios: puertas, apliques de luz, cer\u00e1micas, vidrieras, esgrafiados, etc.<\/p>\n\n\n\n

    Otro \u00e1mbito del arte en el que se observa simetr\u00eda es la escultura. Aqu\u00ed la simetr\u00eda se manifiesta habitualmente por su bilateralidad, sobre todo en la antig\u00fcedad. Tal como suced\u00eda con la pintura las esculturas eran \u201cplanas\u201d, representaban la vista frontal de las personas (ley de la frontalidad). Las figuras se esculp\u00edan para ser contempladas de frente, lo que repercute en que sean muy sim\u00e9tricas, con un plano de reflexi\u00f3n vertical muy marcado, que hace que las dos partes sean pr\u00e1cticamente id\u00e9nticas. Los escultores griegos fueron los primeros en abandonar este convencionalismo. Posteriormente las figuras escult\u00f3ricas pierden muchas veces esta simetr\u00eda bilateral, aunque a menudo pueda estar presente, como en la escultura del gato de Fernando Botero (1932- ) que, despu\u00e9s de haber vivido en diferentes emplazamientos, se encuentra actualmente en la Rambla del Raval de Barcelona. Otros artistas hacen una interpretaci\u00f3n personal, como es el caso de la escultura de Joan Mir\u00f3 (1893-1983) que se encuentra en la entrada de la Fundaci\u00f3n Mir\u00f3 de Barcelona, o de Jaume Plensa (1955- ) en su obra que situada al lado del Palau de la M\u00fasica de Barcelona (Figura 11).<\/p>\n\n\n

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    Figura 11. Gato (1987) de Fernando Botero a la izquierda, Personatge (1970) de Joan Mir\u00f3 en el centro, y Carmela (2015) de Jaume Plensa a la derecha. (Fotografias de M. A. Cuevas-Diarte)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    En fotograf\u00eda la simetr\u00eda est\u00e1 presente en diversos aspectos. Por una parte, una foto puede mostrar una imagen sim\u00e9trica en ella misma, como muestra la Figura 12 con una reflexi\u00f3n del paisaje en el agua que nos recuerda algunas pinturas conocidas (hist\u00f3ricamente la teor\u00eda fotogr\u00e1fica se retroalimenta de las fuentes de la pict\u00f3rica), o constituir la base de la composici\u00f3n de la foto establecida normalmente a partir de la aplicaci\u00f3n de la \u201cregla de los dos tercios\u201d o de la \u201cproporci\u00f3n \u00e1urea\u201d.<\/p>\n\n\n

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    Figura 12. Paisaje reflejado en el agua del embalse de Foix. (Fotograf\u00eda de M. A. Cuevas-Diarte) <\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Un elemento directamente relacionado con la simetr\u00eda y que es recurrente a lo largo del tiempo en pinturas y esculturas son los poliedros. Los poliedros, en ellos mismos, contienen algunos elementos de simetr\u00eda: reflexiones, rotaciones, inversiones. Estas operaciones de simetr\u00eda en el espacio relacionan, hacen equivalentes caras, aristas o v\u00e9rtices. Por ejemplo, en un cubo las caras se repiten cada 90\u00b0 por rotaci\u00f3n alrededor de un eje que idealmente \u201csale\u201d por el centro de cada una de las caras; o queda dividida por la mitad por unos planos ideales de simetr\u00eda de reflexi\u00f3n, tanto verticalmente como horizontalmente como seg\u00fan sus diagonales; o son id\u00e9nticas por inversi\u00f3n en el espacio respecto del punto central del poliedro. Todos los elementos de simetr\u00eda de un poliedro se cruzan en un punto que es su punto central: por eso hablamos de simetr\u00eda puntual en este caso. En cada poliedro los elementos de simetr\u00eda son diferentes, a pesar de que hay grupos que los comparten, y tambi\u00e9n aqu\u00ed el conjunto de elementos de simetr\u00eda de un poliedro forman un grupo en el sentido matem\u00e1tico del t\u00e9rmino: un total de 32 si consideramos los poliedros cristalogr\u00e1ficos. En los poliedros no encontramos la traslaci\u00f3n como operaci\u00f3n de simetr\u00eda ya que se trata de una simetr\u00eda finita que relaciona elementos finitos. Recordemos que un poliedro es un s\u00f3lido limitado por caras planas. El t\u00e9rmino poliedro deriva del griego polis<\/em> \u201cmuchas\u201d y hedra<\/em> \u201ccaras\u201d. Un poliedro es un cuerpo geom\u00e9trico formado por una cantidad finita de pol\u00edgonos planos. Cada uno de estos pol\u00edgonos forma una cara, las caras se interceptan en aristas, y las aristas convergen en un v\u00e9rtice. Los poliedros tienen caras, aristas y v\u00e9rtices, mientras que los pol\u00edgonos tienen lados y esquinas. Podemos considerar que la pir\u00e1mide (y por a\u00f1adidura la bipir\u00e1mide) y el prisma son los poliedros b\u00e1sicos que se repiten y adjetivan seg\u00fan su simetr\u00eda (prisma r\u00f3mbico, bipir\u00e1mide hexagonal, etc.) mientras que otros poliedros toman nombres espec\u00edficos (dodecaedro, esfenoedro, etc.). <\/p>\n\n\n\n

    Cinco son los poliedros que por su historia y por su transcendencia, desde la geometr\u00eda a la filosof\u00eda, debemos resaltar. Hablamos de los cinco s\u00f3lidos plat\u00f3nicos: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo, y dodecaedro. Todos ellos son poliedros regulares: a) Todas las caras son pol\u00edgonos regulares iguales; b) En todos los v\u00e9rtices se interceptan el mismo n\u00famero de caras y de aristas; c) Todas las aristas tienen la misma longitud; d) Todos los \u00e1ngulos diedros son iguales. No hablaremos aqu\u00ed de otros poliedros tambi\u00e9n sim\u00e9tricos como los s\u00f3lidos Arquimedianos, los de Johnson, los de Catalan, etc. (\u00c1lvarez (2005) o Cromwell (1997). Los poliedros aparecen al largo de la historia en muy diferentes \u00e1mbitos art\u00edsticos. En Internet podemos encontrar excelentes recopilaciones como la del profesor Hart. Como dice Philibert \u201clos poliedros han seducido al esp\u00edritu humano desde los albores de la humanidad\u201d. A pesar de que los minerales cristalizados hab\u00edan sido admirados desde siempre, son los griegos los primeros que abordan su estudio y comprensi\u00f3n. Son ellos los que utilizan por primera vez el t\u00e9rmino cristal para referirse a aquellos minerales con formas poli\u00e9dricas que por su transparencia cre\u00edan que era agua congelada. Primero Pit\u00e1goras (572 a.C.) y su escuela, basada principalmente en los n\u00fameros, proponen la noci\u00f3n de proporci\u00f3n. La proporci\u00f3n implica que nos referimos a una escala, a un patr\u00f3n, una dimensi\u00f3n de referencia, como por ejemplo la altura humana. Los pitag\u00f3ricos consideraban que la base de la armon\u00eda eran las proporciones: es bello si posee unas proporciones justas. Despu\u00e9s Plat\u00f3n (427-347 a.C.). Para la escuela plat\u00f3nica simetr\u00eda es sin\u00f3nimo de armonioso, proporcionado, y al mismo tiempo ordenado. La simetr\u00eda es, ante todo, una semblanza con las formas inteligibles, las Ideas. Esta semblanza o analog\u00eda es lo que permanece constante, invariante, inmutable en el curso de todas las transformaciones.  Una propiedad no cambia en el curso del cambio. Es decir, durante el cambio alguna cosa permanece similar. La simetr\u00eda que definen los plat\u00f3nicos incluye la identidad de dos partes superponibles, pero sobre todo se manifiesta por la constancia de las proporciones. Es un concepto matem\u00e1tico, pero no exclusivamente matem\u00e1tico. As\u00ed, la belleza, el orden, la armon\u00eda, la proporci\u00f3n, la justicia, todo lo que est\u00e1 hecho con mesura manifiesta la simetr\u00eda. Plat\u00f3n considera que el Universo ha de estar formado por componentes elementales que posean simetr\u00eda, y que han de ser tan perfectos como sea posible. Por eso relaciona cuatro poliedros, considerados como los objetos geom\u00e9tricos m\u00e1s perfectos, con los elementos que seg\u00fan su escuela constituyen la materia: la tierra se asoci\u00f3 con el cubo, el aire con el octaedro, el agua con el icosaedro y el fuego con el tetraedro. Esta asociaci\u00f3n no parece responder a una clara justificaci\u00f3n. El quinto s\u00f3lido plat\u00f3nico, el dodecaedro, Plat\u00f3n lo asocia con el Universo, pensando que deb\u00eda tener relaci\u00f3n con la sustancia de la que est\u00e1n hechos los planetas y las estrellas (Figura 13).<\/p>\n\n\n

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    Figura 13. Los cinco s\u00f3lidos plat\u00f3nicos: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo, y dodecaedro. (Dibujo de M. Aguilar)<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    Habr\u00e1 que esperar hasta el Renacimiento para encontrar a los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos como objeto de estudio. Tal vez el trabajo m\u00e1s completo puede considerarse realizado hacia 1480 por Piero della Francesca (1415-1492), que escribi\u00f3 un tratado sobre los cinco s\u00f3lidos. En la misma \u00e9poca, su alumno Luca Pacioli (1445-1517), inspir\u00e1ndose en los trabajos de las escuelas plat\u00f3nica y euclidiana (y en primera instancia pitag\u00f3rica), en la obra de Vitrubio (70-15 a.C.), en conversaciones con Leonardo da Vinci (1452-1519) y en los trabajos de Piero della Francesca, realiza la construcci\u00f3n y un estudio exhaustivo de los poliedros regulares y semirregulares en la su obra De Divina proportione<\/em>. Pacioli, bas\u00e1ndose en Euclides (325-265 a.C.), incide en la importancia matem\u00e1tica de la secci\u00f3n de oro, la divina proporci\u00f3n como la denomina. Los trabajos de Piero della Francesca y Luca Pacioli sobre poliedros tuvieron una gran incidencia en la posterior literatura matem\u00e1tica vinculada al arte, sobre todo la desarrollada por Durero (1471-1528), que escribe una especie de enciclopedia geom\u00e9trica para uso de pintores con la que pretende dotar a la creaci\u00f3n art\u00edstica de una base cient\u00edfica-geom\u00e9trica. Posteriormente, Kepler (1571-1630), seducido por la misma l\u00ednea de pensamiento, elabora una cosmolog\u00eda basada en los cinco s\u00f3lidos regulares, en la creencia de que eran la llave para la construcci\u00f3n de la estructura del Universo. Descartes (1596-1650) y Euler (1707-1783) tambi\u00e9n estudian los poliedros desde el punto de vista matem\u00e1tico. Durante los siglos XVII y XVIII los poliedros son motivo constante de estudio de la mano del desarrollo de diversas ciencias como la Cristalograf\u00eda y la Mineralog\u00eda. A finales del siglo XIX, el estudio de los poliedros recibi\u00f3 un nuevo impulso con la aplicaci\u00f3n de la teor\u00eda de grupos en Matem\u00e1ticas y Cristalograf\u00eda.<\/p>\n\n\n\n

    Philibert remarca la seducci\u00f3n que los poliedros ejercieron sobre los artistas del Renacimiento. En el Museo de los Ufficci, una pintura de 1495 representa al matem\u00e1tico Luca Pacioli haciendo una demostraci\u00f3n de geometr\u00eda (Figura 14). Se pueden ver dos poliedros: sobre el libro, un dodecaedro pentagonal y, suspendido de un hilo, un objeto transl\u00facido que podr\u00eda ser identificado como uno de los catorce poliedros de Arqu\u00edmedes. Vale la pena documentarse sobre algunos de los enigmas que incluye esta pintura. Pacioli, como hemos dicho anteriormente, habla de la proporci\u00f3n divina, un t\u00e9rmino relativo a la raz\u00f3n o proporci\u00f3n ligada al denominado n\u00famero \u00e1ureo. Para Pacioli, la proporci\u00f3n m\u00e1s significativa es la que corresponde al n\u00famero de oro, 1,618…que se deduce de la proporci\u00f3n entre extremo y mediana de Euclides. Partiendo de un estudio muy riguroso de los trabajos de Euclides, muestra que ciertos s\u00f3lidos plat\u00f3nicos pueden inscribirse en esferas, y que su construcci\u00f3n geom\u00e9trica se basa en algunas proporciones entre la cuales el famoso 1,618…Estas proporcione, dichas \u201cdivinas\u201d evocan las Ideas<\/em> de Plat\u00f3n, pero en realidad, para \u00e9l, conducen a Dios. Puede, as\u00ed, proponer una s\u00edntesis entre las tesis plat\u00f3nicas y la religi\u00f3n cristiana. El libro trata, entre otras cuestiones, de los pol\u00edgonos, de las ideas arquitect\u00f3nicas de Vitrubio y de los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos o regulares, y contiene ilustraciones que encarg\u00f3 a Leonardo da Vinci. Para Leonardo, la belleza consiste en la divina proporci\u00f3n que los miembros manifiestan en su conjunto y que muestran como una armon\u00eda divina resultado de su acuerdo.<\/p>\n\n\n

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    Figura 14. Retrato del matem\u00e1tico Luca Pacioli atribuido a Jacopo de Barbari. Museo de los Ufficci de Florencia.<\/figcaption><\/figure>\n<\/div>\n\n\n

    A prop\u00f3sito de la proporci\u00f3n \u00e1urea y volviendo un momento a la arquitectura, las pir\u00e1mides egipcias son un buen ejemplo. Construidas como monumentos funerarios, son perfectas pir\u00e1mides tetragonales, es decir, su eje principal lo podemos imaginar como un eje de rotaci\u00f3n de orden 4 que hace equivalentes las caras cada 90\u00b0. Algunos han querido ver en las pir\u00e1mides, como en los templos griegos y otras construcciones, el n\u00famero de oro, aunque no hay constancia de que sus arquitectos tuviesen conocimiento de este concepto y lo hubieran tenido en cuenta al planificarlos. A pesar de ello, es verdad que la raz\u00f3n entre la altura de una cara y la mitad del lado de la base de una pir\u00e1mide es, aproximadamente, 1’618…, es decir, el n\u00famero de oro, as\u00ed como el cociente entre el \u00e1rea total y el \u00e1rea lateral de la pir\u00e1mide, y el cociente entre el \u00e1rea lateral y el \u00e1rea de la base. El n\u00famero de oro representa una proporci\u00f3n agradable, que impl\u00edcita o expl\u00edcitamente es utilizada en situaciones diversas. Todos llevamos encima tarjetas de cr\u00e9dito que obedecen a esta proporci\u00f3n divina.<\/p>\n\n\n\n

    Como hace notar Amor\u00f3s (1978), \u201ccuantas veces y cuan numerosas personas se han sentido atra\u00eddas por la belleza y la armon\u00eda de la forma cristalina. No hay duda de que la regularidad geom\u00e9trica de un mineral cristalizado, juntamente con su transparencia \u00fanica, la dureza y a menudo el color, transforma la observaci\u00f3n en una experiencia est\u00e9tica. Son precisamente estas cualidades est\u00e9ticas las que impulsan a coleccionar minerales cristalizados, ya que un cristal es, ante todo, un objeto de extraordinaria belleza. Si los cristales son bellos, no pod\u00eda ser de otra manera que en el Renacimiento, que produjo una explosi\u00f3n de sentimientos art\u00edsticos, al mismo tiempo que se reconoc\u00eda el valor de la observaci\u00f3n directa de la naturaleza, se utilizase por primera vez el cristal como elemento decorativo, y que, como consecuencia, se representase de manera fidedigna. Y no es de extra\u00f1ar que esta empresa fuese iniciada por el artista y no por el hombre de ciencia\u201d.<\/p>\n\n\n\n

    La simetr\u00eda contin\u00faa teniendo un papel importante en las ciencias y en las artes, contribuyendo al desarrollo del conocimiento, a partir de la conjunci\u00f3n de las matem\u00e1ticas, la experimentaci\u00f3n, y la Cristalograf\u00eda moderna.<\/p>\n\n\n\n

    La simetr\u00eda se convierte en una noci\u00f3n clave en el conjunto de disciplinas cient\u00edficas contempor\u00e1neas. Si definimos la simetr\u00eda como la correspondencia por translaci\u00f3n, rotaci\u00f3n o reflexi\u00f3n en el espacio, podemos constatar que esta acepci\u00f3n se sit\u00faa en el centro de las ciencias de la materia, as\u00ed como en biolog\u00eda, tanto a escala macrosc\u00f3pica como microsc\u00f3pica. La simetr\u00eda, incluyendo la quiralidad, nos permite tratar las formas tridimensionales de las mol\u00e9culas aisladas, los s\u00f3lidos, la estructura del genoma, etc. <\/p>\n\n\n\n

    Si inicialmente los griegos hablan de simetr\u00eda como la proporci\u00f3n entre el todo y las partes, con el paso del tiempo y la influencia de las diferentes disciplinas que se desarrollan, el concepto de simetr\u00eda se aplica tambi\u00e9n a la identidad como superposici\u00f3n de dos partes derecha e izquierda de una misma figura, incluyendo actualmente la correspondencia entre las partes de una figura respecto de un plano, un eje, un punto, o algunas de las combinaciones de estos elementos. Adem\u00e1s, el t\u00e9rmino de simetr\u00eda guarda todav\u00eda alguna relaci\u00f3n con su sentido inicial, ya que le podemos a\u00f1adir el calificativo de agradable, de armon\u00eda, e incluso de belleza.<\/p>\n\n\n\n

    Referencias bibliogr\u00e1ficas<\/h2>\n\n\n\n